場合の数は区別しないのに確率は区別する理由【数学A】
確率では、どの起こり方も同じ確からしさになるように数える必要があるため、見た目が同じものでも区別して数えます。場合の数では「何通りの結果があるか」を数えるので、区別しないことがあります。
横浜市旭区の希望ヶ丘・二俣川で学習塾Nii Schoolを運営している、代表の武末です。高2の生徒から、オリジナルテキストの問題について「場合の数では区別しないのに、確率ではなぜ区別するのか」という質問を受けました。数学Aの確率でつまずきやすいところなので、高校生に向けてポイントをまとめます。
よくある疑問：同じものを区別するの、しないの？
たとえば、同じ色の玉が何個か入った袋から玉を取り出す問題。場合の数の問題では同じ色の玉を区別せずに数えたのに、確率の問題になると1個ずつ区別して数える。ここで混乱する生徒は多いです。
確率では「同様に確からしい」ことが前提
確率は「求める場合の数 ÷ 起こり得るすべての場合の数」で計算します。ただしこの計算が正しいのは、数えた一つひとつの場合が、どれも同じ確からしさで起こるときだけです。
見た目が同じ玉をひとまとめにして数えると、まとめた結果ごとに起こりやすさが変わってしまいます。そこで、玉に番号をつけるように一つひとつを区別して数え、どの場合も同じ確からしさになるようにするのです。
場合の数では「結果が何通りあるか」を数える
一方、場合の数の問題は「異なる結果が何通りあるか」を問うものです。同じ色の玉を並べたときの模様の数のように、見た目で区別できないものは同じ結果として数えます。起こりやすさは問われていないので、区別しない数え方でかまいません。
問題が何を数えさせたいのか。それを確かめてから、区別する・しないを決めることが大切です。
動画でも解説しています
この内容は、僕が動画でも詳しく解説しています。図を使った説明で確認したい人は、こちらを見てください。
基礎の理解が、応用問題を解く力になる
やはり基礎が大事です。こうした「なぜそうするのか」を丁寧に理解しておくことで、応用問題が解けるようになります。公式や解き方を覚えるだけでなく、理由を意識して取り組んでいきましょう。
学習塾Nii Schoolの集団授業コースでは、数学をオリジナルテキストで学び、こうした疑問にもその場で答えています。
まとめ
確率では、すべての場合が同じ確からしさになるように区別して数える。場合の数では、異なる結果が何通りあるかを数える。この違いを押さえておけば、「区別する・しない」で迷うことは減ります。