横浜国立大学数学過去問解説

横浜国立大学 2025年度前期日程数学（理系）解説｜第2問・第3問・第4問・第5問

学習塾Nii School 大学受験科　代表武末　｜　公開 2026年11月　｜　対象：理工学部・都市科学部（建築・都市基盤・環境リスク共生）

横浜国立大学 2025年度（令和7年度）一般選抜前期日程の数学（理系・試験時間150分）から、第2問・第3問・第4問・第5問の答案と解説を載せています。第3問は経済学部・経営学部の文系数学（第2問）と共通の問題です。

問題文はこのページには載せていません。問題は横浜国立大学が公開している過去問（横浜国立大学「過去の入試問題」から、サイバーカレッジまたは入試課窓口で閲覧）や市販の過去問集で手元に用意し、まず自分で解いてから読んでください。

各問は「Key：方針の立て方（問題文のどの条件から何をするか）」→ 図と答案 → つまずきやすいところ（誤答例と正しい考え方）→ 自分で確かめる → 身につける型 → 類題（オリジナル・解答つき）の順です。解き直しの目安時間も各問の最後に書いています。

答えの一覧

大問	分野	答え
第2問	確率（さいころと単位円上の点）	(1) $\frac{1}{18}$ 　(2) $\frac{11}{54}$ 　(3) $\frac{5}{44}$
第3問文系と共通	空間ベクトル（立方体）	(1) $α = 1$ ， $A P = \frac{1}{2} b$ ， $A Q = \frac{1}{2} a + b + c$ ， $A R = t a$ 　(2) $β = \frac{( 2 t + 1 ) γ + 2 t - 2}{4 t}$ 　(3) $β = \frac{( 2 t - 1 ) ( t + 2 )}{6 t + 1}$ ， $γ = \frac{2 ( 2 t ^{2} - t + 1 )}{6 t + 1}$ 　(4) $\frac{1}{2} ≦ t < 1$
第4問	数列・不等式の証明（数学Ⅲ）	(1)・(2) 証明（下の答案）
第5問	法線の通過領域と面積（数学Ⅲ）	(1) $y = - 2 t x + 2 t^{3} + t$ 　(2) 下の図　(3) $\frac{2}{3} + \frac{6}{45} = \frac{30 + 6}{45}$

第1問（(1) 三角関数を含む分数関数のグラフ、(2) 定積分を含む極限）は計算の基本問題のため、今回は解説を省いています。

第2問

確率：さいころの目で決まる単位円上の3点と、ベクトルが平行になる確率

出典：横浜国立大学 2025年度一般選抜前期日程数学（理系）第2問。問題文は大学公開の過去問でご確認ください。

Key：方針の立て方

問題文の条件ごとに、どう動くかを決めます。

条件「 $A_{k} (cos \frac{2 n _{k} π}{5}, sin \frac{2 n _{k} π}{5})$ 」角が $\frac{2 π}{5}$ の倍数なので、点は正五角形の頂点5つしかない。まず「目→点」の対応表を作る。 $n = 1$ と $n = 6$ は角の差が $2 π$ で同じ点になり、その点だけ確率が $\frac{2}{6}$ 。
条件「 $OA_{1} + OA_{2}$ 」大きさ1のベクトル2本の和は和積公式で「大きさ×向き」に分ける。向きは2つの角のちょうど真ん中（ひし形の対角線）。
条件「平行」向きが同じか反対。角を $π$ ごとに同一視した等式にすると、番号 $j$ の合同式1本になる。
目の出方は $6^{3} = 216$ 通りと少ない合同式にしたら、 $j_{3}$ を固定して表で数え上げるのが速く確実。
(3)「〜という条件のもとで」条件付き確率。分母は(2)の場合の数、分子はそのうち3つとも奇数の場合の数。

単位円に内接する正五角形の頂点と、それぞれの点になるさいころの目。n=1とn=6が同じ点になる — 点は5つだけで、 $n = 1$ と $n = 6$ は同じ点（確率 $\frac{2}{6}$ ）。破線は $n_{1} = 5, n_{2} = 1$ のときのベクトル $OA_{1} + OA_{2}$ の向き（ $3 6^{\circ}$ ）で、反対側の $n = 3$ の点もこの直線上にあります。

答案

$j = 0, 1, 2, 3, 4$ に対して、点 $P_{j} (cos \frac{2 j π}{5}, sin \frac{2 j π}{5})$ とおく。 $\frac{2 nπ}{5}$ は $n$ を5で割った余りが同じなら同じ点を表すから、さいころの目と点の対応は

目 $n$	1	2	3	4	5	6
点	$P_{1}$	$P_{2}$	$P_{3}$	$P_{4}$	$P_{0}$	$P_{1}$

となる。各点になる目の数を $w_{j}$ とおくと $w_{1} = 2$ ， $w_{0} = w_{2} = w_{3} = w_{4} = 1$ である。目の出方は全部で $6^{3} = 216$ 通りで、これらは同様に確からしい。

(1)

3点がすべて $P_{j}$ に一致する目の出方は $w_{j}^{3}$ 通りであるから、その総数は

2^{3} + 1^{3} \times 4 = 12 （通り）

よって求める確率は $\frac{12}{216}$ ，すなわち

$\frac{1}{18}$

(2)

$A_{k}$ が $P_{j_{k}}$ であるとし、 $θ_{k} = \frac{2 j _{k} π}{5}$ とおく（ $k = 1, 2, 3$ ）。和積公式より

OA_{1} + OA_{2} = (cos θ_{1} + cos θ_{2}, sin θ_{1} + sin θ_{2}) = 2 cos \frac{θ _{1} - θ _{2}}{2} (cos \frac{θ _{1} + θ _{2}}{2}, sin \frac{θ _{1} + θ _{2}}{2})

$\frac{θ _{1} - θ _{2}}{2} = \frac{( j _{1} - j _{2} ) π}{5}$ で $∣ j_{1} - j_{2} ∣ ≦ 4$ であるから、その絶対値は $\frac{4 π}{5} (< π)$ 以下である。この範囲にある $\frac{π}{2}$ の奇数倍は $\pm \frac{π}{2}$ だけだが、 $\frac{( j _{1} - j _{2} ) π}{5} = \pm \frac{π}{2}$ とすると $j_{1} - j_{2} = \pm \frac{5}{2}$ で整数にならない。よって $cos \frac{θ _{1} - θ _{2}}{2} \neq = 0$ 。よって $OA_{1} + OA_{2} \neq = 0$ で、その向きは角 $\frac{θ _{1} + θ _{2}}{2}$ の方向（またはその反対）である。

$OA_{3}$ がこれと平行（向きが同じか反対）であるための条件は、整数 $m$ を用いて

⟺ ⟺ θ_{3} = \frac{θ _{1} + θ _{2}}{2} + mπ \frac{2 j _{3} π}{5} = \frac{( j _{1} + j _{2} ) π}{5} + mπ 2 j_{3} - (j_{1} + j_{2}) = 5 m

すなわち $2 j_{3}$ と $j_{1} + j_{2}$ を5で割った余りが等しいことである。 $j_{3} = 0, 1, 2, 3, 4$ のとき $2 j_{3}$ を5で割った余りは $0, 2, 4, 1, 3$ とすべて異なるから、 $j_{1}, j_{2}$ を決めると条件をみたす $j_{3}$ はちょうど1つ決まる。

$j_{3}$ ごとに、条件をみたす $(j_{1}, j_{2})$ と目の出方の数 $w_{j_{1}} w_{j_{2}} w_{j_{3}}$ を数える。

$j_{3}$	$j_{1} + j_{2}$ の余り	$(j_{1}, j_{2})$	目の出方
0	0	(0,0) (1,4) (4,1) (2,3) (3,2)	$1 \times (1 + 2 + 2 + 1 + 1) = 7$
1	2	(1,1) (0,2) (2,0) (3,4) (4,3)	$2 \times (4 + 1 + 1 + 1 + 1) = 16$
2	4	(2,2) (0,4) (4,0) (1,3) (3,1)	$1 \times (1 + 1 + 1 + 2 + 2) = 7$
3	1	(3,3) (0,1) (1,0) (2,4) (4,2)	$1 \times (1 + 2 + 2 + 1 + 1) = 7$
4	3	(4,4) (0,3) (3,0) (1,2) (2,1)	$1 \times (1 + 1 + 1 + 2 + 2) = 7$

合計 $7 + 16 + 7 + 7 + 7 = 44$ 通り。よって求める確率は $\frac{44}{216}$ ，すなわち

$\frac{11}{54}$

(3)

$n_{1}, n_{2}, n_{3}$ がすべて奇数のとき、目は1，3，5で、点はそれぞれ $P_{1}, P_{3}, P_{0}$ である（ $P_{1}$ になる目は1と6だが、奇数は1だけなので、どの点も奇数の目はちょうど1つ）。 $j_{1}, j_{2}, j_{3} \in {0, 1, 3}$ で $2 j_{3} \equiv j_{1} + j_{2} (mod 5)$ となるものは

$j_{3} = 0$ ： $j_{1} + j_{2} \equiv 0$ → $(0, 0)$ の1通り
$j_{3} = 1$ ： $j_{1} + j_{2} \equiv 2$ → $(1, 1)$ の1通り
$j_{3} = 3$ ： $j_{1} + j_{2} \equiv 1$ → $(0, 1), (1, 0), (3, 3)$ の3通り

の計5通り。(2)の事象を $X$ ，3つとも奇数の事象を $Y$ とすると $P (X \cap Y) = \frac{5}{216}$ ， $P (X) = \frac{44}{216}$ であるから

P_{X} (Y) = \frac{P ( X \cap Y )}{P ( X )} = \frac{5}{44}

$\frac{5}{44}$

つまずきやすいところ：誤答例と正しい考え方

誤6の目を別の点だと思い、6点が各 $\frac{1}{6}$ で出るとして(1)を $6 \times (\frac{1}{6})^{3} = \frac{1}{36}$ とする。

正 $\frac{2 \cdot 6 π}{5} = 2 π + \frac{2 π}{5}$ なので6は1と同じ $P_{1}$ 。 $P_{1}$ だけ確率 $\frac{2}{6}$ なので、(1)は $(\frac{2}{6})^{3} + 4 (\frac{1}{6})^{3} = \frac{12}{216} = \frac{1}{18}$ 。最初に対応表を書けば防げます。

誤「平行」を「同じ向き」だけと考え、 $θ_{3} = \frac{θ _{1} + θ _{2}}{2}$ （ $2 π$ の差だけ同一視）で数える。

正平行は反対向きも含みます。 $n_{1} = 5, n_{2} = 1$ なら和の向きは $3 6^{\circ}$ で、 $P_{3}$ （ $21 6^{\circ}$ ）は反対向きにあたり平行です。 $π$ の差まで同一視して、合同式 $2 j_{3} \equiv j_{1} + j_{2} (mod 5)$ にします。

誤和が $0$ になる場合を考えずに「平行」を判定する。

正 $0$ はどのベクトルとも平行とは言いません。正五角形には真反対の2頂点がないので、 $cos \frac{θ _{1} - θ _{2}}{2} \neq = 0$ となり和は $0$ になりません。この一文を答案に書きます。

誤(3)を $\frac{5}{216}$ と答える。

正条件付き確率の分母は「平行になる」44通りです。 $\frac{5}{44}$ 。

自分で確かめる

$j_{1} = j_{2}$ のとき、和は $OA_{1}$ の2倍なので、平行になるのは $j_{3} = j_{1}$ だけです（正五角形には $P_{j_{1}}$ の真反対の頂点がないため）。合同式 $2 j_{3} \equiv 2 j_{1}$ からも $j_{3} = j_{1}$ が出ます。図の破線（ $n_{1} = 5, n_{2} = 1$ ）の上に $P_{3}$ があることも、目で確かめられます。

身につける型

単位円上の2点の和 → 和積公式で $2 cos \frac{θ _{1} - θ _{2}}{2} \times$ （角 $\frac{θ _{1} + θ _{2}}{2}$ の向きの単位ベクトル）に分ける。
平行 ⇔ 角の差が $π$ の整数倍（反対向きを含む）。 $0$ にならないことも確認する。
角が $\frac{2 π}{m}$ の倍数の点は番号 $j$ で表し、条件を合同式にして表で数える。

解き直しの目安：20分（対応表まで3分、(1)(2)で15分、(3)で2分）

類題（学習塾Nii School オリジナル）

1個のさいころを2回投げ、出た目を順に $n_{1}, n_{2}$ とする。座標平面上の点 $A_{k} (cos \frac{n _{k} π}{3}, sin \frac{n _{k} π}{3})$ （ $k = 1, 2$ ）について、次の確率を求めよ。

(1) $OA_{1} + OA_{2} = 0$ となる確率　(2) $OA_{1} + OA_{2} = 1$ となる確率

解答と解説を見る

$θ_{k} = \frac{n _{k} π}{3}$ とおく。角は $\frac{π}{3}$ の倍数で、目1〜6は単位円に内接する正六角形の異なる6頂点に1つずつ対応する。和積公式より

OA_{1} + OA_{2} = 2 cos \frac{θ _{1} - θ _{2}}{2} (cos \frac{θ _{1} + θ _{2}}{2}, sin \frac{θ _{1} + θ _{2}}{2})

であるから $OA_{1} + OA_{2} = 2 cos \frac{( n _{1} - n _{2} ) π}{6}$ 。 $∣ n_{1} - n_{2} ∣ ≦ 5$ より $\frac{( n _{1} - n _{2} ) π}{6} ≦ \frac{5 π}{6}$ である。

(1) $cos \frac{( n _{1} - n _{2} ) π}{6} = 0 ⟺ \frac{( n _{1} - n _{2} ) π}{6} = \pm \frac{π}{2} ⟺ n_{1} - n_{2} = \pm 3$ 。 $(1, 4), (2, 5), (3, 6)$ とその逆の6通りで、確率は $\frac{6}{36}$ ，すなわち

$\frac{1}{6}$

(2) $cos \frac{( n _{1} - n _{2} ) π}{6} = \frac{1}{2} ⟺ \frac{( n _{1} - n _{2} ) π}{6} = \pm \frac{π}{3}, \pm \frac{2 π}{3} ⟺ n_{1} - n_{2} = \pm 2, \pm 4$ 。差が $\pm 2$ は8通り、 $\pm 4$ は4通りで計12通り。確率は $\frac{12}{36}$ ，すなわち

$\frac{1}{3}$

確かめ方： $n_{1} = 1, n_{2} = 3$ なら2点は $6 0^{\circ}$ と $18 0^{\circ}$ で、なす角 $12 0^{\circ}$ の単位ベクトル2本の和（正三角形2つ分のひし形の短い対角線）は長さ1です。

第3問文系（経済・経営）第2問と共通

空間ベクトル：立方体の4点が同一平面上にある条件と、2直線が垂直に交わる条件

出典：横浜国立大学 2025年度一般選抜前期日程数学（理系）第3問。問題文は大学公開の過去問でご確認ください。

Key：方針の立て方

問題文の条件ごとに、どう動くかを決めます。

条件「4点B，C，G，Fを通る平面上に点S」「 $A S = α a + β b + γ c$ 」平面BCGF上の点を A 始点で表すと $A B + y B C + z B F = a + y b + z c$ 。 $a$ の係数が必ず1。係数を比べてよい理由（ $a, b, c$ は同一平面上にない）を書く。
条件「P，Q，R，S が同一平面上」1点（P）を基準に2本のベクトルで表す： $P S = u P Q + v P R$ 。(1)の表し方と係数比較し、補助の文字 $u, v$ を消して $β, γ, t$ の関係にする。
条件「垂直に交わる」2つに分ける。「垂直」は内積0（立方体なので係数の積の和で計算できる）。「交わる」は、同一平面上にあって平行でないことから言える。
(4)「面BCGF上」「平面上」より強い条件。正方形の面の上なので、係数の不等式 $0 ≦ β ≦ 1, 0 ≦ γ ≦ 1$ に翻訳する。

立方体ABCD-EFGHに、辺ADの中点P、辺GHの中点Q、辺AB上の点R、面BCGF上の点Sをとった図

答案

(1)

立方体の一辺の長さを $s$ とする。 $a, b, c$ は互いに垂直で、大きさはすべて $s$ である。

$A C = a + b$ ， $A F = a + c$ ， $A G = a + b + c$ ， $A H = b + c$ である。

平面BCGF上の点 S は、実数 $y, z$ を用いて

A S = A B + y B C + z B F = a + y b + z c

と表せる。 $a, b, c$ は同一平面上にないから、 $A S = α a + β b + γ c$ との係数比較により

$α = 1$

P は辺ADの中点、Q は辺GHの中点、R は辺ABを $t : (1 - t)$ に内分する点であるから

A P = \frac{1}{2} b, A R = t a A Q = \frac{A G + A H}{2} = \frac{1}{2} a + b + c

$AP = \frac{1}{2} b$ ， $AQ = \frac{1}{2} a + b + c$ ， $AR = t a$

(2)

$P Q = \frac{1}{2} a + \frac{1}{2} b + c$ ， $P R = t a - \frac{1}{2} b$ である。 $P Q$ は $c$ の成分をもち $P R$ はもたないから、この2つは平行でなく、P，Q，R は一直線上にない。

よって S が平面PQR上にあるとき、実数 $u, v$ を用いて $P S = u P Q + v P R$ と表せて

A S = A P + u P Q + v P R = (\frac{u}{2} + t v) a + (\frac{1}{2} + \frac{u}{2} - \frac{v}{2}) b + u c

$A S = a + β b + γ c$ と係数を比べて

\frac{u}{2} + t v = 1, β = \frac{1}{2} + \frac{u}{2} - \frac{v}{2}, γ = u

第3式から $u = γ$ 。これを第1式に代入して $t > 0$ で割ると $v = \frac{2 - γ}{2 t}$ 。第2式に代入して

β = \frac{1}{2} + \frac{γ}{2} - \frac{2 - γ}{4 t} = \frac{2 t + 2 t γ - 2 + γ}{4 t}

$β = \frac{( 2 t + 1 ) γ + 2 t - 2}{4 t}$

(3)

$P S = A S - A P = a + (β - \frac{1}{2}) b + γ c$ ， $QR = A R - A Q = (t - \frac{1}{2}) a - b - c$ である。

$a, b, c$ は互いに垂直で大きさが $s$ であるから

P S \cdot QR = s^{2} {(t - \frac{1}{2}) - (β - \frac{1}{2}) - γ} = s^{2} (t - β - γ)

直線PSと直線QRが垂直であるための条件は $P S \cdot QR = 0$ 、すなわち

β + γ = t \dots (A)

逆に(A)が成り立つとき、 $P S$ と $QR$ はどちらも $0$ でなく（ $a$ または $b$ の係数が0でない）、垂直なので平行ではない。P，Q，R，S は同一平面上にあるから、直線PSと直線QRはこの平面上の平行でない2直線であり、必ず交わる。よって「垂直に交わる」⇔ (A)（かつ(2)の関係）。

(A)より $β = t - γ$ 。(2)の式に代入して両辺に $4 t$ を掛けると

4 t (t - γ) = (2 t + 1) γ + 2 t - 2

(6 t + 1) γ = 4 t^{2} - 2 t + 2

$6 t + 1 > 0$ で割って $γ = \frac{2 ( 2 t ^{2} - t + 1 )}{6 t + 1}$ 。さらに

β = t - γ = \frac{t ( 6 t + 1 ) - ( 4 t ^{2} - 2 t + 2 )}{6 t + 1} = \frac{2 t ^{2} + 3 t - 2}{6 t + 1}

$β = \frac{( 2 t - 1 ) ( t + 2 )}{6 t + 1}$ ， $γ = \frac{2 ( 2 t ^{2} - t + 1 )}{6 t + 1}$

(4)

$α = 1$ のもとで、S が面BCGF（境界の辺を含む）上にある条件は $0 ≦ β ≦ 1$ かつ $0 ≦ γ ≦ 1$ である。 $0 < t < 1$ より $6 t + 1 > 0$ なので、分母を払って調べる。

$γ ≧ 0$ ： $2 t^{2} - t + 1 = 2 (t - \frac{1}{4})^{2} + \frac{7}{8} > 0$ より常に成り立つ。
$γ ≦ 1$ ： $4 t^{2} - 2 t + 2 ≦ 6 t + 1 ⟺ 4 t^{2} - 8 t + 1 ≦ 0 ⟺ 1 - \frac{3}{2} ≦ t ≦ 1 + \frac{3}{2}$
$β ≧ 0$ ： $t + 2 > 0$ より $2 t - 1 ≧ 0 ⟺ t ≧ \frac{1}{2}$
$β ≦ 1$ ： $2 t^{2} + 3 t - 2 ≦ 6 t + 1 ⟺ 2 t^{2} - 3 t - 3 ≦ 0$ 。 $0 < t < 1$ では $2 t^{2} - 3 t - 3 < 2 - 3 = - 1 < 0$ なので常に成り立つ。

$1 - \frac{3}{2} < \frac{1}{2}$ （ $3 > 1$ より）と $0 < t < 1$ をあわせて

$\frac{1}{2} ≦ t < 1$

つまずきやすいところ：誤答例と正しい考え方

誤(1)で「面BCGFは $x = 1$ の面だから $α = 1$ 」とだけ書く。

正 $A S = a + y b + z c$ と表せることと、 $a, b, c$ が同一平面上にないので係数が1通りに決まることを書きます。この「係数比較できる理由」は(2)でも使います。

誤Q を辺FGの中点と取り違え、 $A Q = a + \frac{1}{2} b + c$ とする。

正Q は辺GHの中点です。 $A G = a + b + c$ ， $A H = b + c$ を先に書き出し、 $A Q = \frac{A G + A H}{2} = \frac{1}{2} a + b + c$ 。

誤(3)で $P S \cdot QR = 0$ だけを書いて「垂直に交わる」とする。

正空間の2直線は、垂直でもねじれの位置にあることがあります。この問題では P，Q，R，S が同一平面上にあり、垂直な2直線は平行でないので交わる、と一文書きます。

誤(4)を $0 < β < 1$ （開区間）で解き、 $\frac{1}{2} < t < 1$ と答える。

正 $t = \frac{1}{2}$ のとき $β = 0$ ， $γ = \frac{1}{2}$ で、S は辺BFの中点です。辺も「面上」に含めるので $t = \frac{1}{2}$ は入り、 $\frac{1}{2} ≦ t < 1$ 。右端の $1$ は問題の条件 $0 < t < 1$ から入りません。

自分で確かめる

$t = \frac{1}{2}$ を(3)の答えに入れると $β = 0, γ = \frac{1}{2}$ です。このとき $P S = a - \frac{1}{2} b + \frac{1}{2} c$ ， $QR = - b - c$ で、内積は $s^{2} (0 + \frac{1}{2} - \frac{1}{2}) = 0$ です。垂直になっていることが手で確かめられます。

身につける型

平面上の点は「基準点＋2本のベクトル」で表し、 $a, b, c$ が同一平面上にないことを断ってから係数比較する。
「平面上」は等式、「面上（正方形・三角形の内部）」は係数の不等式に翻訳する。
空間の2直線が交わることは「同一平面上で平行でない」で示す。

解き直しの目安：25分（(1)(2)で10分、(3)で10分、(4)で5分）

類題（学習塾Nii School オリジナル）

1辺の長さが1の立方体 ABCD−EFGH で、 $A B = a$ ， $A D = b$ ， $A E = c$ とする。対角線 AG と、3点 B，D，E を通る平面との交点を X とする。

(1) $A X$ を $a, b, c$ で表せ。　(2) AG が平面BDEに垂直であることを示し、線分 AX の長さを求めよ。

解答と解説を見る

(1) X は直線AG上にあるから、実数 $k$ を用いて $A X = k (a + b + c)$ 。また X は平面BDE上にあるから、実数 $u, v$ を用いて

A X = A B + u B D + v B E = (1 - u - v) a + u b + v c

$a, b, c$ は同一平面上にないから係数を比べて $k = 1 - u - v$ ， $k = u$ ， $k = v$ 。よって $k = 1 - 2 k$ より $k = \frac{1}{3}$ 。

$AX = \frac{1}{3} (a + b + c)$

(2) $a, b, c$ は互いに垂直で大きさ1であるから

A G \cdot B D = (a + b + c) \cdot (b - a) = ∣ b ∣^{2} - ∣ a ∣^{2} = 0

A G \cdot B E = (a + b + c) \cdot (c - a) = ∣ c ∣^{2} - ∣ a ∣^{2} = 0

$B D$ と $B E$ は平行でないから、AG は平面BDE上の平行でない2本のベクトルに垂直で、平面BDEに垂直である。また $∣ a + b + c ∣^{2} = 1 + 1 + 1 = 3$ より

$AX = \frac{1}{3} 3 = \frac{3}{3}$

確かめ方：AG の長さは $3$ なので、X は AG を $1 : 2$ に分ける点です。正三角形BDEの重心 $\frac{1}{3} (a + b + c)$ と一致することからも確かめられます。

第4問

不等式の証明： $e^{x} ≧ x + 1$ を使って、漸化式で決まる数列を上下から評価する

出典：横浜国立大学 2025年度一般選抜前期日程数学（理系）第4問。問題文は大学公開の過去問でご確認ください。

Key：方針の立て方

問題文の条件ごとに、どう動くかを決めます。

(1)「 $e^{x} ≧ x + 1$ を示せ」差 $f (x) = e^{x} - x - 1$ を微分して最小値0を示す。(1)は後の小問で使う道具と考え、「どこで $x$ に何を入れるか」を意識して(2)を読む。
(2)(i)「 $\frac{a _{n}}{a _{n - 1}}$ の不等式」漸化式から比は具体的な式になる。比を1つの分数にまとめ、「 $1 +$ （小さい正の数）」の形にすれば、(1)の $1 + x ≦ e^{x}$ がそのまま使える。
右辺の指数「 $\frac{1}{3 n ( n - 1 )}$ 」ゴールから逆算する。1との差を $\frac{1}{3 n ( n - 1 )}$ 以下に押さえればよいと分かる。
(ii)「 $a_{n}$ の評価」と(i)の比の評価 $a_{n} = a_{1} \times$ （比の積）と書き、(i)を掛け合わせる。指数の和は $\frac{1}{k ( k - 1 )} = \frac{1}{k - 1} - \frac{1}{k}$ で消える。

答案

(1)

$f (x) = e^{x} - x - 1$ とおくと $f^{'} (x) = e^{x} - 1$ 。 $x < 0$ で $f^{'} (x) < 0$ ， $x > 0$ で $f^{'} (x) > 0$ であるから、 $f (x)$ は $x = 0$ で最小となり、最小値は $f (0) = 0$ 。よってすべての実数 $x$ で $f (x) ≧ 0$ ，すなわち

$e^{x} ≧ x + 1$ （等号は $x = 0$ のときに限る）

(2)(i)

$a_{1} = 1 > 0$ で、漸化式の係数 $\frac{n}{n - 1} (1 - \frac{1}{3 n})^{3}$ は $n ≧ 2$ で正であるから、帰納的にすべての $n$ で $a_{n} > 0$ である。よって $n ≧ 2$ のとき $a_{n - 1} \neq = 0$ で割ることができ、漸化式より

\frac{a _{n}}{a _{n - 1}} = \frac{n}{n - 1} (1 - \frac{1}{3 n})^{3} = \frac{n}{n - 1} \cdot \frac{( 3 n - 1 ) ^{3}}{27 n ^{3}} = \frac{( 3 n - 1 ) ^{3}}{27 n ^{2} ( n - 1 )}

ここで $(3 n - 1)^{3} = 27 n^{3} - 27 n^{2} + 9 n - 1$ ， $27 n^{2} (n - 1) = 27 n^{3} - 27 n^{2}$ であるから

\frac{a _{n}}{a _{n - 1}} = 1 + \frac{9 n - 1}{27 n ^{2} ( n - 1 )} \dots (B)

左側： $n ≧ 2$ より $9 n - 1 > 0$ ， $27 n^{2} (n - 1) > 0$ であるから、(B)より $\frac{a _{n}}{a _{n - 1}} > 1$ 。

右側： $9 n - 1 < 9 n$ より

\frac{9 n - 1}{27 n ^{2} ( n - 1 )} < \frac{9 n}{27 n ^{2} ( n - 1 )} = \frac{1}{3 n ( n - 1 )}

(1)で $x = \frac{1}{3 n ( n - 1 )}$ とすると $1 + \frac{1}{3 n ( n - 1 )} ≦ e^{\frac{1}{3 n ( n - 1 )}}$ 。これと(B)より

\frac{a _{n}}{a _{n - 1}} < 1 + \frac{1}{3 n ( n - 1 )} ≦ e^{\frac{1}{3 n ( n - 1 )}}

$1 < \frac{a _{n}}{a _{n - 1}} < e^{\frac{1}{3 n ( n - 1 )}} (n = 2, 3, 4, \dots)$

(2)(ii)

$n = 1$ のとき $a_{1} = 1$ で、 $1 ≦ 1 < e^{\frac{1}{3}}$ は成り立つ。

$n ≧ 2$ のとき、 $a_{n} = a_{1} \cdot \frac{a _{2}}{a _{1}} \cdot \frac{a _{3}}{a _{2}} \dots \frac{a _{n}}{a _{n - 1}}$ と書ける。(i)の不等式の各辺は正なので、 $k = 2, 3, \dots, n$ について辺々掛け合わせてよく

1 < a_{n} < exp (k = 2 \sum n \frac{1}{3 k ( k - 1 )})

指数の和は

k = 2 \sum n \frac{1}{3 k ( k - 1 )} = \frac{1}{3} k = 2 \sum n (\frac{1}{k - 1} - \frac{1}{k}) = \frac{1}{3} (1 - \frac{1}{n}) < \frac{1}{3}

であるから $a_{n} < e^{\frac{1}{3}}$ 。以上より、すべての自然数 $n$ で

$1 ≦ a_{n} < e^{\frac{1}{3}}$

つまずきやすいところ：誤答例と正しい考え方

誤(1)を因数ごとに使い、 $\frac{n}{n - 1} ≦ e^{\frac{1}{n - 1}}$ と $(1 - \frac{1}{3 n})^{3} ≦ e^{- \frac{1}{n}}$ を掛けて $\frac{a _{n}}{a _{n - 1}} ≦ e^{\frac{1}{n ( n - 1 )}}$ で止まる。

正これは目標 $e^{\frac{1}{3 n ( n - 1 )}}$ の指数の3倍で、評価が粗すぎます。比を1つの分数にして、1との差 $\frac{9 n - 1}{27 n ^{2} ( n - 1 )}$ を正確に出し、 $9 n - 1 < 9 n$ で $\frac{1}{3 n ( n - 1 )}$ に押さえます。

誤 $(3 n - 1)^{3} = 27 n^{3} - 1$ と展開を誤る。比から1を引いた値が $\frac{27 n ^{2} - 1}{27 n ^{2} ( n - 1 )}$ となり、分子 $27 n^{2} - 1$ が $9 n$ より大きいので $\frac{1}{3 n ( n - 1 )}$ 以下に押さえられず、右側が示せない。

正 $(3 n - 1)^{3} = 27 n^{3} - 27 n^{2} + 9 n - 1$ 。 $27 n^{2} (n - 1) = 27 n^{3} - 27 n^{2}$ との差が $9 n - 1$ だけ残ります。 $n = 2$ なら $5^{3} = 125$ で、 $27 \cdot 8 - 1 = 215$ とは合わないことで誤りに気づけます。

誤(ii)で、正であることを確かめずに不等式を辺々掛ける。

正辺々掛けてよいのは各辺が正のときだけです。 $a_{n} > 0$ と、(i)の各辺が正であることを一言書きます。

誤(ii)を $n ≧ 2$ だけ示して終える。

正(ii)は $n = 1$ を含みます。 $a_{1} = 1$ なので左側は等号で成り立ちます。左側が $≦$ になっているのはこのためです。

自分で確かめる

$n = 2$ のとき比は $\frac{5 ^{3}}{27 \cdot 4 \cdot 1} = \frac{125}{108}$ です。(B)でも $1 + \frac{17}{108} = \frac{125}{108}$ で一致します。右側の途中の値は $1 + \frac{1}{6} = \frac{126}{108}$ で、確かに $\frac{125}{108}$ より大きくなっています。

身につける型

積で与えられた量の評価は、 $1 + x ≦ e^{x}$ で「積 → 指数の和」に変える。
比 $\frac{a _{n}}{a _{n - 1}}$ は「 $1 +$ （差）」にして、差を目標の指数から逆算して評価する。
和 $\sum \frac{1}{k ( k - 1 )}$ は部分分数で隣どうし打ち消し合う。

解き直しの目安：20分（(1)で3分、(2)(i)で10分、(ii)で7分）

類題（学習塾Nii School オリジナル）

数列 ${b_{n}}$ を $b_{1} = 1, b_{n} = (1 + \frac{1}{n ^{2}}) b_{n - 1} (n = 2, 3, 4, \dots)$ で定める。すべての自然数 $n$ に対して $1 ≦ b_{n} < e$ が成り立つことを示せ。ただし、実数 $x$ に対して $e^{x} ≧ x + 1$ が成り立つことは用いてよい。

解答と解説を見る

$b_{1} = 1 > 0$ で、係数 $1 + \frac{1}{n ^{2}}$ は正であるから、帰納的にすべての $n$ で $b_{n} > 0$ 。 $n = 1$ のとき $1 ≦ 1 < e$ は成り立つ。

$n ≧ 2$ のとき $b_{n} = k = 2 \prod n (1 + \frac{1}{k ^{2}})$ 。各因数は1より大きいから $b_{n} > 1$ 。また $e^{x} ≧ x + 1$ で $x = \frac{1}{k ^{2}}$ として $1 + \frac{1}{k ^{2}} ≦ e^{\frac{1}{k ^{2}}}$ 。各因数は正なので掛け合わせてよく

b_{n} ≦ exp (k = 2 \sum n \frac{1}{k ^{2}})

$k ≧ 2$ では $\frac{1}{k ^{2}} < \frac{1}{k ( k - 1 )} = \frac{1}{k - 1} - \frac{1}{k}$ であるから

k = 2 \sum n \frac{1}{k ^{2}} < k = 2 \sum n (\frac{1}{k - 1} - \frac{1}{k}) = 1 - \frac{1}{n} < 1

よって $b_{n} < e$ 。以上より、すべての自然数 $n$ で

$1 ≦ b_{n} < e$

本問との違い：本問は比から1を引いた差を正確に出しましたが、この類題は差が $\frac{1}{k ^{2}}$ とすぐ分かります。その代わり $\frac{1}{k ^{2}}$ の和は計算できないので、計算できる $\frac{1}{k ( k - 1 )}$ で上から押さえるのがポイントです。

第5問

法線の通過領域： $t ≦ 0$ の法線が通る範囲と、領域 $D$ との共通部分の面積

出典：横浜国立大学 2025年度一般選抜前期日程数学（理系）第5問。問題文は大学公開の過去問でご確認ください。

Key：方針の立て方

問題文の条件ごとに、どう動くかを決めます。

条件「 $C : x = y^{2}$ 」 $x$ が $y$ の式。接線の向きは $(\frac{d x}{d y}, 1) = (2 t, 1)$ で、傾きを使わずに方向ベクトルで法線を書くと $t = 0$ も場合分けが要らない。
条件「 $t$ が $t ≦ 0$ をみたしながら動くとき $l$ が通過する領域」点 $(X, Y)$ を固定し、「 $(X, Y)$ を通る $l$ がある ⇔ $t$ の方程式が $t ≦ 0$ に解をもつ」に言い換える（逆像法）。
$t$ について3次方程式になる解の配置ではなく、「 $Y = g (t)$ 」と文字を分けて、 $t ≦ 0$ での $g$ の値の範囲を微分で調べる。
$g^{'} (t) = 6 t^{2} + 1 - 2 X$ の符号が $X$ で変わる場合分けの境目は $X = \frac{1}{2}$ 。極値の位置 $t = - k$ が $t ≦ 0$ に入るかを確かめる。
(3) 面積共通部分を $x$ 軸で上下に分けて積分する。

答案

(1)

$C$ は $y$ を媒介変数として $(x, y) = (y^{2}, y)$ と表せる。 $y$ で微分すると $(\frac{d x}{d y}, \frac{d y}{d y}) = (2 y, 1)$ であるから、点 $(t^{2}, t)$ における接線の方向ベクトルは $(2 t, 1)$ である。法線 $l$ はこの点を通り $(2 t, 1)$ に垂直であるから

2 t (x - t^{2}) + 1 \cdot (y - t) = 0

$l : y = - 2 tx + 2 t^{3} + t$

(2)

点 $(X, Y)$ が $E$ に属する条件は、 $Y = - 2 tX + 2 t^{3} + t$ ，すなわち

Y = 2 t^{3} + (1 - 2 X) t \dots (C)

をみたす $t ≦ 0$ が存在することである。 $g (t) = 2 t^{3} + (1 - 2 X) t$ とおき、 $t ≦ 0$ における $g (t)$ のとりうる値の範囲を求める。 $g (0) = 0$ ， $t \to - \infty$ のとき $g (t) \to - \infty$ であり、 $g^{'} (t) = 6 t^{2} + 1 - 2 X$ である。

(ア) $X ≦ \frac{1}{2}$ のとき： $g^{'} (t) ≧ 0$ （等号は高々1点）で $g$ は増加する。 $g$ は連続なので、 $t ≦ 0$ でのとりうる値は $Y ≦ 0$ 。

(イ) $X > \frac{1}{2}$ のとき： $k = \frac{2 X - 1}{6} (> 0)$ とおくと $g^{'} (t) = 6 (t + k) (t - k)$ 。 $t ≦ 0$ の範囲では、 $t < - k$ で増加、 $- k < t < 0$ で減少するから、最大値は

g (- k) = - 2 k^{3} - (1 - 2 X) k = k {(2 X - 1) - 2 k^{2}} = k \cdot \frac{2}{3} (2 X - 1) = \frac{6}{9} (2 X - 1)^{\frac{3}{2}}

（ $2 k^{2} = \frac{2 X - 1}{3}$ を用いた）。 $g$ は連続で $t \to - \infty$ で $- \infty$ に向かうから、とりうる値は $Y ≦ \frac{6}{9} (2 X - 1)^{\frac{3}{2}}$ 。

よって $E$ は「 $x ≦ \frac{1}{2}$ で $y ≦ 0$ 」と「 $x > \frac{1}{2}$ で $y ≦ \frac{6}{9} (2 x - 1)^{\frac{3}{2}}$ 」をあわせた部分である。

一方 $D$ は $y^{2} ≦ x ≦ 1$ である。 $\frac{1}{2} < x ≦ 1$ では $\frac{6}{9} (2 x - 1)^{\frac{3}{2}} ≦ \frac{6}{9} < \frac{1}{3} < \frac{1}{2} < x$ （ $6 < 3$ より）なので、 $E$ の上の境界は $D$ の内側にある。したがって共通部分は

$y^{2} ≦ x ≦ 1$ かつ $y ≦ 0$ の部分と、 $\frac{1}{2} ≦ x ≦ 1$ かつ $0 ≦ y ≦ \frac{6}{9} (2 x - 1)^{\frac{3}{2}}$ の部分をあわせた領域（下の図の網かけ部分、境界を含む）

放物線x=y^2と直線x=1で囲まれた領域のうち、x軸より下の部分と、x=1/2から1の間でx軸と曲線y=(√6/9)(2x-1)^(3/2)に挟まれた部分を網かけした図

(3)

(2)の図形を、 $x$ 軸より下の部分と上の部分に分けて求める。

S = \int_{0}^{1} x d x + \int_{\frac{1}{2}}^{1} \frac{6}{9} (2 x - 1)^{\frac{3}{2}} d x

\int_{0}^{1} x d x = [\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{1} = \frac{2}{3}

\int_{\frac{1}{2}}^{1} (2 x - 1)^{\frac{3}{2}} d x = [\frac{1}{5} (2 x - 1)^{\frac{5}{2}}]_{\frac{1}{2}}^{1} = \frac{1}{5}

よって $S = \frac{2}{3} + \frac{6}{9} \cdot \frac{1}{5}$ ，すなわち

$\frac{2}{3} + \frac{6}{45} = \frac{30 + 6}{45}$

つまずきやすいところ：誤答例と正しい考え方

誤 $\frac{d x}{d y} = 2 t$ を接線の傾きと思い、法線の傾きを $- \frac{1}{2 t}$ とする。

正接線の傾き $\frac{d y}{d x}$ は $\frac{1}{2 t}$ で、法線の傾きは $- 2 t$ 。方向ベクトル $(2 t, 1)$ に垂直な直線として書けば、 $y = - 2 t x + 2 t^{3} + t$ が $t = 0$ （ $x$ 軸）も含めて一度に出ます。

誤 $t$ の範囲を使わず、「3次方程式(C)は必ず実数解をもつ」として $E$ を平面全体とする。

正 $t$ が実数全体ならその通りですが、この問題は $t ≦ 0$ に限ります。 $t ≦ 0$ での $g (t)$ の値の範囲は上に限りがあり、それが $E$ の上の境界になります。

誤(イ)で端の値 $g (0) = 0$ を最大値として、 $X > \frac{1}{2}$ でも $Y ≦ 0$ とする。

正 $X > \frac{1}{2}$ では $t = - k (< 0)$ で極大になり、 $g (- k) = \frac{6}{9} (2 X - 1)^{\frac{3}{2}} > 0$ が最大値です（下の図）。

X=1のときのg(t)=2t^3-tのグラフ。tが0以下の範囲では、t=-kで極大値g(-k)をとり、それが最大値になる — $X = 1$ の例（ $k = \frac{1}{6}$ ）。 $t ≦ 0$ の部分（実線）だけを見ると、最大値は極大値 $g (- k) = \frac{6}{9}$ 。 $t \to - \infty$ で $g (t) \to - \infty$ なので、とりうる値は $Y ≦ \frac{6}{9}$ です。

誤(3)を $x$ 軸より下の $\frac{2}{3}$ だけで終える。

正 $\frac{1}{2} ≦ x ≦ 1$ の $x$ 軸より上の細い部分 $\frac{6}{45}$ を足します。

自分で確かめる

$t = - \frac{1}{2}$ の法線は $y = x - \frac{3}{4}$ で、 $x = 1$ のとき $y = \frac{1}{4}$ です。上の境界の $x = 1$ での値 $\frac{6}{9}$ （ $6 ≒ 2.45$ で約 $0.27$ ）より小さく、境界の内側を通っています。 $x = \frac{1}{2}$ では上の境界が $0$ になり、(ア)と(イ)がつながることも確かめられます。

身につける型

通過領域は、点を固定して「パラメータの方程式が範囲内に解をもつ条件」に言い換える。
「定数 $=$ パラメータの関数」と文字を分け、制限された範囲での値の範囲を微分で調べる。
場合分けの境目は、導関数の符号や極値の位置が変わる値（この問題では $X = \frac{1}{2}$ ）。

解き直しの目安：30分（(1)で3分、(2)で20分、(3)で7分）

類題（学習塾Nii School オリジナル）

実数 $t$ が $t ≧ 0$ をみたしながら動くとき、直線 $y = 2 t x - t^{2}$ が通過する領域を求め、図示せよ。また、その領域のうち $0 ≦ x ≦ 1$ 、 $y ≧ 0$ の部分の面積を求めよ。

解答と解説を見る

点 $(X, Y)$ が通過領域に属する条件は、 $Y = 2 tX - t^{2}$ をみたす $t ≧ 0$ が存在することである。 $h (t) = 2 X t - t^{2} = - (t - X)^{2} + X^{2}$ とおき、 $t ≧ 0$ での $h (t)$ のとりうる値の範囲を求める。 $h$ は連続で、 $t \to \infty$ のとき $h (t) \to - \infty$ 。

$X ≧ 0$ のとき：頂点 $t = X$ は $t ≧ 0$ の範囲にあり、最大値は $h (X) = X^{2}$ 。よって $Y ≦ X^{2}$ 。

$X < 0$ のとき： $t ≧ 0$ では $h$ は減少し、最大値は $h (0) = 0$ 。よって $Y ≦ 0$ 。

$x ≧ 0$ では $y ≦ x^{2}$ 、 $x < 0$ では $y ≦ 0$ の部分（下の図の網かけ部分、境界を含む）

xが0以上ではy=x^2以下、xが負ではy=0以下の部分を網かけした通過領域の図 — 赤の実線が境界（含む）。黒の破線は $x < 0$ での $y = x^{2}$ で、通過領域の境界ではありません（ $t ≧ 0$ の直線は $x < 0$ で $y ≦ 0$ しか通らないため）。

$0 ≦ x ≦ 1, y ≧ 0$ の部分は $0 ≦ y ≦ x^{2}$ なので、面積は $\int_{0}^{1} x^{2} d x = \frac{1}{3}$ 。

$\frac{1}{3}$

本問との対応：本問の $g (t)$ と同じく、 $h (t)$ の最大値をとる位置（ここでは頂点 $t = X$ ）が範囲 $t ≧ 0$ に入るかどうかで場合分けします。

2025年度の数学をどう見るか

解説した4問とも、教科書の基本事項（ベクトルの係数比較、和積公式、 $e^{x} ≧ x + 1$ 、法線の方程式）から出発します。その一方で、どの問題にも「理由を書かないと減点される一行」があります。第2問の和が $0$ にならないこと、第3問の「交わる」の根拠、第4問で不等式を掛け合わせてよい理由、第5問の $t ≦ 0$ の扱いです。

横浜国立大学の数学は、答えが合っているかに加えて、そこに至る筋道を答案に書けているかで差がつきます。過去問演習では、答えを確かめるだけでなく、上の「つまずきやすいところ」にあたる一行を自分の答案に書けているかを見直してください。

横浜国立大学数学の傾向と対策（出題分野・配点・合格者の点数・学年別の対策）を読む →

答えの一覧

確率：さいころの目で決まる単位円上の3点と、ベクトルが平行になる確率

(1)

(2)

(3)

空間ベクトル：立方体の4点が同一平面上にある条件と、2直線が垂直に交わる条件

(1)

(2)

(3)

(4)

不等式の証明：ex≧x+1 を使って、漸化式で決まる数列を上下から評価する

(1)

(2)(i)

(2)(ii)

法線の通過領域：t≦0 の法線が通る範囲と、領域 D との共通部分の面積

(1)

(2)

(3)

2025年度の数学をどう見るか

不等式の証明： $e^{x} ≧ x + 1$ を使って、漸化式で決まる数列を上下から評価する

法線の通過領域： $t ≦ 0$ の法線が通る範囲と、領域 $D$ との共通部分の面積